ARITMÉTICA: FACTOR COMÚN

El concepto de factor común tiene su origen en la aritmética y en la teoría de números, especialmente en la necesidad de simplificar expresiones algebraicas. Su aparición se puede rastrear a la antigua Grecia y a la India, donde los matemáticos comenzaron a trabajar con la descomposición de números en factores primos y la simplificación de fracciones. Sin embargo, la idea tal como la conocemos en álgebra moderna fue formalizada mucho más tarde, durante el desarrollo de la algebra simbólica en Europa en los siglos XVI y XVII.

Origen y Evolución

• En la antigua Grecia, los matemáticos como Euclides ya estudiaban la descomposición de números en factores primos, lo que es una base para entender los factores comunes.

• Durante el siglo XVI, con el desarrollo del álgebra en Europa, matemáticos como Francesco Vieta y René Descartes comenzaron a usar símbolos algebraicos para representar cantidades. La idea de simplificar expresiones algebraicas mediante la factorización comenzó a tomar forma.

• El término "factor común" en el contexto de expresiones algebraicas aparece de manera más clara en los trabajos de matemáticos de los siglos XVII y XVIII.

Personajes Representativos

• Euclides (c. 300 a.C.): Sus trabajos sobre la teoría de números, particularmente en el libro "Elementos", dieron las bases para la comprensión de los factores y divisores.

• Francesco Vieta (1540-1603): Fue uno de los primeros matemáticos en utilizar notación algebraica moderna, lo que permitió el desarrollo de la factorización de polinomios.

• René Descartes (1596-1650): Su trabajo en álgebra simbólica ayudó a formalizar el uso de las letras para representar números, permitiendo la aplicación del concepto de factores comunes en expresiones algebraicas.

Ejemplos con Letras

En álgebra, un factor común es un número o término que se encuentra en cada parte de una expresión. Aquí tienes algunos ejemplos:

1. Ejemplo 1:

   $$6x + 9$$

   El factor común en esta expresión es 3, porque tanto 6 como 9 son múltiplos de 3. Entonces, se puede factorizar de la siguiente forma:

   $$6x + 9 = 3(2x + 3)$$
   

2. Ejemplo 2:

   $$4a^2b + 8ab^2$$
   

   En este caso, el factor común es 4ab:

   $$4a^2b + 8ab^2 = 4ab(a + 2b)$$
   
3. Video explicativo:

 

Ejemplos con Números

Cuando trabajamos con números, el factor común se refiere a un número que divide exactamente a otros números. Aquí algunos ejemplos:

1. Ejemplo 1: Los números 12 y 18 tienen un factor común de 6, ya que 12 y 18 son múltiplos de 6.

   • La descomposición en factores primos de 12 es $12 = 2^2 \cdot 3$

   • La descomposición en factores primos de 18 es $18 = 2 \cdot 3^2$

   El factor común máximo (o MCD) de 12 y 18 es 6, que es el producto de los factores comunes $2 \cdot 3$.

2. Ejemplo 2: Los números 20 y 30 tienen un factor común de 10:

   • La descomposición en factores primos de 20 es $20 = 2^2 \cdot 5$

   • La descomposición en factores primos de 30 es $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

   El factor común máximo (MCD) es 10, porque 10 es el producto de los factores comunes $2 \cdot 5$.

3. Video explicativo: 

   
   

Ejercicios propuestos

Conclusión

El factor común es una herramienta fundamental tanto en la aritmética como en el álgebra. Su origen está profundamente ligado a los estudios sobre la descomposición de números en factores primos y la simplificación de expresiones algebraicas. A través de la historia, matemáticos como Euclides, Vieta y Descartes ayudaron a formalizar y expandir este concepto en el ámbito de las matemáticas.